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多目标优化(三)：经典算法

线性加权法是多目标优化中使用比较广泛的方法，根据 $f_k(x)$ 的重要程度，设定权重进行线性加权，将多个目标表示成：

$\\begin{array}{c}\\min_{x}\\sum_{k=1}^{K}\\lambda_{k}f_k(x) \ ag{8}\\\\ \ ext{s.t. }g_i(x) \\ge 0 ,i \\in[1,M ]\\\\ \ ext{ }h_j(x)=0 ,j \\in[1,L ]\\end{array}$

从而转换为单目标的优化问题。接下来我们给出在一定条件下，上述问题存在有效解的条件。

定理：对于给定的 $\\lambda \\in \\Lambda^{++}$ ，则上述问题的最优解是MOO问题的有效解。其中：

$\\Lambda^{++}=\\{ \\lambda | \\lambda_k >0 , i=1,2...K, \\sum_{k=1}^K \\lambda_k=1 \\}\\\\$

详细证明参考[1]

优点：实现简单，单目标优化问题有成熟的算法求解。
缺点：权重 $\\lambda_k$ 比较难确定，求出的解的优劣性没法保证。

除了上面介绍的线性加权法，主要目标法（也称 $\\epsilon$ -约束方法），是一个应用广泛的算法

$\\begin{array}{c}\\min_{x}f_p(x) \ ag{9}\\\\ \ ext{s.t. }f_k(x) \\le \\epsilon_k ,k=1,...,K,且k\ ot={p}\\\\ \ ext{ }g_i(x) \\ge 0 ,i \\in[1,M ]\\\\ \ ext{ }h_j(x)=0 ,j \\in[1,L ]\\end{array}$

$\\epsilon$ -约束方法从 $K$ 个目标中选择最重要的子目标作为优化目标，其余的子目标作为约束条件。每个子目标，通过上界 $\\epsilon_k$ 来约束。设上述约束条件得到的可行域为 $\\hat{D}$ 。

主要目标法最优解都是MOO的弱有效解
若主要目标 $f_p(x)$ 是严格凸函数，可行域为 $\\hat{D}$ 为凸集，则主要目标法的最优解是MOO问题的有效解。

一般情况下，界限值可以取子目标函数的上界值：

$\\min \\{ f_k| f_k(x) ,k=1,...,K,且k\ ot={p}\\}\\le \\epsilon_k \ ag{10}\\\\$

这种取法可以使得某些 $f_k(x)$ 留在可行域 $\\hat{D}$ 内，并且 $\\hat{D}$ 内有较多的点靠近 $f_k(x)$ 的最优解。

主要目标法的优缺点对比

优点：简单易行，保证在其他子目标取值允许的条件下，求出主要目标尽可能好的目标值。
缺点： $\\epsilon_k$ 如果给的不合适的话，新的可行域 $\\hat{D}$ 可能为空集。

逼近目标法是让决策者提出一个目标值 $f^0=(f_{1}^{0}, f_{2}^{0},...,f_{K}^{0})$ ，使得每个目标函数 $f_k(x)$ 都尽可能的逼近对应的目标值：

$\\begin{array}{c}&L(f(x),f^0)&=& ||f(x)-f^0||_2^{\\lambda}\ ag{11}\\\\ & &=&\\sum_{k=1}^{K}\\lambda_k (f_k(x) - f_k^0)^2 ,\\lambda \\in \\Lambda^{++}\\end{array}$